حجم الكرة والأسطوانة
حجم الكرة والأسطوانة، اليوم سوف نتحدث عن حجم الكرة والأسطوانة حيث أن الكرة هي شكل هندسي ناتج عن نقاط تبعد بشكل ثابت بنقطة محددة من الفضاء، وهذا البعد هو نصف القطر، بالإضافة إلى أن الأسطوانة أيضًا أحد الأشكال الهندسية التي سوف نتكلم عنها من خلال المقال.
محتويات المقال
[ عرض ]
تعريف الكرة
- تُعد الكرة واحدة من الأشكال التي تكون مألوفة بالحياة، كما أنها من الأشكال الهندسية التي تتألف من خلال عدة نقاط بعيدة عن بعدها وتتلقى في مركز ثابت يُسمى مركز الكرة، ويُطلق عليه أيضًا الخط المُستقيم الذي يكون بين النقاط بسطح الكرة.
- كما أن مساحة الكرة لم تكن مثل مساحة الأسطوانة وذلك لأن مساحة الأولى تكون أقل من مساحة الشكل الأسطواني، وذلك يكون من خلال قانون خاص بحجم الكرة.
شاهد أيضًا: معلومات عن الرياضيات هل تعلم
خصائص الكرة
- إن الجسم الكروي يتألف من سطح واحد، لذا فإن الكرة لم تكن من المجسمات التي تكون متعددة الوجوه، ولا يتم تسمية سطح الكرة بالوجه، حيث أن الشكل الكروي لم يكن مسطح.
- إن الكرة تكون خالية من الأضلاع وأيضًا الجوانب بالإضافة إلى الحواف، كما أنه لا يوجد بها رؤوس ولا زوايا.
- يُعد الجسم الكروي جسم ثلاثي الأبعاد.
- المسافة بين النقاط الواقعة على سطح الكرة وأيضًا المركز تكون هي نفسها كما أنها تكون متساوية لدى كافة النقاط الواقعة على السطح.
- إن شكل الكرة يكون متواجد في الكثير من الأماكن ويوجد منه أشكال عديدة وهذا يكون مألوف لكافة الأشخاص.
تعريف الأسطوانة
- تُعد الأسطوانة ثلاثية الأبعاد، وهي مكونة من قاعدتين على شكل دائري وهما متطابقتين وأيضًا متقابلين، وهي ناتجة عن التفاف الشكل المستطيلي لأحد أضلاعه بشكل كامل، كما أنها تحتوي على عدة خصائص تميزها عن الكثير من الأشكال الأخرى.
- من أهم خصائص الأسطوانة أنها تحتوي على قاعدة تكون مُسطحة كما أن هذه القعدة هي أيضًا القمة، لذا فإن القاعديين يكونان متطابقتان، وهي تمتلك جانب واحد فقط، بالرغم من أنه منحنٍ، بالإضافة إلى أن الأسطوانة لها مميزات عديدة.
- يوجد أنواع من الأسطوانة منها المائلة وأيضًا القائمة، وذلك يكون طبقًا لتعامد الارتفاع، ويتم معرفة كلًا منهما من خلال التالي، تكون الأسطوانة قائمة عندما يكون ارتفاع الأسطوانة بشكل متعامد بشكل كامل مع القاعدة.
- أما الأسطوانة المائلة فإنها تكون مثل المنشور، فعندما يزيد أوجه المنشور يكون شبهة للأسطوانة.
حجم الأسطوانة
- يُعد الحجم هو مقدار الحيز المشغول من خلال الشكل الذي يكون ثلاثي الأبعاد بأي فراغ، كما أنه يحتوي على وحدات مختلفة من أجل قياسه، منها المتر وأيضًا السنتيمتر والكثير من الوحدات الأخرى، كما أن هذا الاختلاف يجعل شكل الأسطوانة مميز عن غيره.
- إن الحساب الخاص بحجم الأسطوانة يكون مثل الحساب الخاص بالحجم المنشور، لأنهما مُتشابهات في خصائصها، لأن حجم الأسطوانة يكون ناتج ضرب المربع الذي يكون نصف القطر مضروب في الارتفاع إلى يكون ثابت π.
- كما أن قانون الأسطوانة هو حجم الأسطوانة= نصف القطر 2× الارتفاع× π.
شاهد أيضًا: كيفية حساب الوزن المثالي بالنسبة للطول والعمر
مساحة الكرة
إن مساحة الكرة تساوي 4 أضعاف المساحة الخاصة بدائرة الطول الذي يخص نصف قطرها، كما أنها تُعادل الطول الخاص بنصف قطرها، وطبقًا لهذا فإن الحساب الخاص بسطح الكرة هو 4× نق²× ط.
أمثلة على سطح الكرة:
- مثال 1: إن كان قطر الكرة 7 سم فإن مساحته تكون 4× نق²× ط أي 4× (7) ²× 3.14 =615.44 سم².
- مثال 2: كرة يُساوي طول القطعة التي تمر بمركزها حوالي 10 سم فما مساحتها، الحل 4× نق²× ط، 4× (5) ² × 3.14 = 314 م².
- مثال 3: مساحة السطح الخاص بالكرة هو 2826 فما هو طول نصف القطر الخاص بها، الحل 4× نق²× ط أي 4× نق²× 3.14 أي 2826÷ 12.56= 225، كما أي نصف قطر الكرة يُعادل الجذر التربيعي للناتج 225 أي 15 سم.
- نتمكن من ملاحظة أن الحساب الذي يخص سطح الكرة يتطلب معرفة الطول الخاص بنصف قطرها، وإن تم معرفتها فإن عملية حساب سطح الكرة تكون سهلة.
- أما إن كانت غير متوفرة فإنه يتم إحضار حبل يتم لفه حول الكرة ويُعد طول الحبل هو حساب محيط الكرة، ويتم قسمته ÷ (2 ط) حينها نعرف القيمة الخاصة بنصف القطر.
- أما إن تم معرفة نتيجة بشكل أدق فإنه لابد من لف الحبل حوالي 3 مرات، ثم يتم أخذ الوسيط الخاص بعمليات القياس ويتم قسمته ÷ (2 ط) ويتم معرفة القيمة التي تخص نصف القطر.
حجم الكرة والأسطوانة
- القانون الخاص بحجم الكرة = 3/4 × π × نق³، أما عن اشتقاقه فهو يأتي من العلاقة التي تكون بين حجم الكرة وأيضًا حجم الأسطوانة كما وضحنا سابقًا.
- أما عن حجم الأسطوانة يُساوي 3× الحجم الخاص بنصف الكرة، ولأن حجم الأسطوانة يُساوي نق² × ع لذا فإن 3.14 = π أو 7/22، بما أن ع هو الارتفاع ونق هو نصف القطر الخاص بالكرة وهذا يُعني × نق² × ع= 3 × “2/1 × حجم الكرة”.
- يمكن استخدم 2/3 = 1.5 بدلًا من الكسر، ويتم ذلك من خلال ضرب طرفي الشكل بالمقلوب وهو 3/2 × “π × نق²×ع” = حجم الكرة، حيث أن هذا يُعني “π × نق² × ع × 2″/3 = حجم الكرة.
- إن الارتفاع = 2 نق π ×” نق² × 2 نق × 2″/3 = حجم الكرة”، حيث أن هذا يُعني π × نق²×4 نق) /3 = حجم الكرة، (π ×نق³×4) /3 = حجم الكرة، لذا فإن حجم الكرة يساوي 3/4 × π × نق³.
- يمكن أن تتم تجربة سهلة من أجل توضيح لقانون بشكل عملي، وتظهر من خلالها العلاقة بين حجم الكرة مع حجم الأسطوانة من خلال عدد من الخطوات السهلة التي لابد من اتباعها، ومن خلالها يمكن الوصول للقانون الخاص بحجم الكرة.
- خطوات قانون حجم الكرة هي، يتم إحضار الجسم الأسطواني مع كرة تكون مفرغة بالداخل ويكون ارتفاع الأسطوانة هو 2 نق للكرة التي تكون موجودة، كما أن نصف القطر الخاص بالكرة يساوي نصف القطر الخاص بالأسطوانة.
- يتم تقسيم الكرة التي تكون مفرغة بالداخل لنصفين يكونوا متطابقين بشكل كامل، وإحضار رمل بكمية وفيرة ويتم تعبئته بنصف الكرة، ويتم إفراغ كمية منه بالأسطوانة، ويتم إعادة الخطوات من أجل أن تكون الأسطوانة ممتلئة بالرمل بالكامل.
- بعد أن تتم هذه الخطوة بالكامل سوف يُستنتج أن الأسطوانة قد امتلأت من خلال 3 مرات بعد ملئ النصف الخاص بالكرة، بمعنى أن تكون الأسطوانة قد احتاجت 3 أضعاف الرمل الذي يوجد بنصف الكرة، وهذا يدل على أن الأسطوانة أكبر من الكرة.
معلومات أخرى عن الكرة
- حجم الكرة عبارة عن عدد معين من الوحدات المكعبة المتواجدة بالكرة، حيث أن 3/4×π=4.19، لذا فإن حجم الكرة =4.19×نق3 لذا فإن تلك العلاقة قد توصل إليها أرخميدس وهو فيلسوف يوناني وذلك من حوالي ألفى عام.
- توصل أرخميدس بأن حجم الكرة = ثلث الحجم الخاص بالأسطوانة حيث أن محيطها يكون مثل محيط الكرة.
- يتم قياس حجم المرة باستعمال مكعب وحدات الخاص بقياس الطول، بمعنى وحدة الطول مضروبة في وحدات الطول الأخرى بالشكل، كما أنه يُمكن استعمال أي وحدات خاصة بالطول التي تكون موجودة بأي نظام خاص بالقياس للحجم.
- قياس الحجم يكون واحد خاصة عندما يكون نصف القطر يتم قياسه بالوحدة منها المتر المكعب وأيضًا المليمتر المكعب، بالإضافة إلى أن الوحدة الخاصة بنصف القطر تكون سنتيمترًا وأيضًا قدمًا أو مترًا.
شاهد أيضًا: كيفية معرفة حجم كرت الشاشة
في نهاية مقالنا عن حجم الكرة والأسطوانة حيث أن الكرة والأسطوانة هما من الأشكال الهندسية المعروفة في الرياضيات والتي يتم دراستها لكافة الطلاب في الكثير من المراحل الدراسية المختلفة، لذا نتمنى أن نكون قد تناولنا الموضوع بشكل يُفيد الطلاب ومنتظرين مشاركاتكم.