نشأة الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
نشأة الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة، يقدم موقع مقال لكم نشأة الهندسة التحليليَّة وعلاقتها بفروع الرياضيَّات المختلفة، تمَّ تطوير الفكرة الأساسيَّة للهندسة التحليليَّة في القرن السابع عشر من قبل عالمين فرنسيين هما بيير دي فيرما ورينيه ديكارت؛ حيث لعبت الهندسة التحليليَّة بعد ذلك دورًا كبيرًا في فروع الرياضيَّات المختلفة.
نشأة الهندسة التحليليَّة وعلاقتها بفروع الرياضيَّات المختلفة
سوف نتعرف على نشأة الهندسة التحليليَّة وعلاقتها بفروع الرياضيَّات المختلفة تدريجيَّاً من خلال السطور التالية عبر المقال، فتابعوا القراءة.
بعد تطوير الفكرة الأساسيَّة للهندسة التحليليَّة في القرن السابع عشر بواسطة بيير دي فيرما ورينيه ديكارت، وذلك بعد الاختراع المعروف (تحديث الجبر والتدوين الجبري) من قبل فرانسوا فييت وقدم الإطار الأساسي لحساب التفاضل والتكامل لإسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز.
- تطورت العلاقة بين الهندسة والجبر على مدار تاريخ الرياضيَّات، حيث وصلت الهندسة إلى درجة أكبر من النضج في وقت أقرب.
- تمكن عالم الرياضيَّات اليوناني إقليدس من تنظيم العديد من النتائج الرائعة في كتابه الكلاسيكي العناصر؛ كان الجبر مجموعة أفكار أقل تنظيماً بكثير، حيث يعتمد على المصادر البابلية والمصرية واليونانية والهندوسية، ويتعامل مع مشاكل تتراوح من التجارة إلى الهندسة.
- حتى عصر النهضة، كان من الممكن استخدام الهندسة لتبرير الحلول للمسائل الجبريَّة، ولكن لم يكن هناك الكثير من التفكير في أنَّ الجبر سوف يلقي الضوء على الهندسة.
- سيتغير هذا الموقف مع اعتماد تدوين مناسب للعلاقات الجبريَّة وتطوير مفهوم الوظيفة الرياضيَّة التي سمحت بها.
اقرأ من هنا عن: الهندسة الكهربية والحاسبات
التدوين ومفهوم الوظيفة
لتوضيح كل من أهميَّة التدوين ومفهوم الوظيفة، يمكننا النظر في إحدى المشكلات الكلاسيكيَّة في الجبر، حل المعادلة التربيعيَّة، في التدوين الحديث، يمكن كتابة مثل هذه المعادلة:
- Ax2 + Bx + C = 0.
- ومن المفهوم هنا أنَّ A و B و C تمثل الأرقام، و x تمثل الكميَّة غير المعروفة التي يجب إيجادها، و 2 الصغيرة التي تظهر في المصطلح الأول تعني أنَّ x المجهول يجب تربيعه أو ضربه في نفسه.
- وفي حين أنَّ حلول بعض أشكال هذه المعادلة كانت معروفة للبابليين القدماء، لم يتم تطوير التدوين بشكل كامل حتى عمل عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت، الذي وحَّد استخدام الحروف لتمثيل كل من الثوابت والكميات المتغيرة.
- بالنظر إلى هذا الترميز، فمن السهل التفكير في المعادلة على أنَّها الصيغة: f (x) = 0.
- حيث تكون الوظيفة: f (x) = Ax2 + Bx + C.
- يمكن للمرء عندئذٍ التفكير في متغير ثانٍ، على سبيل المثال y، يتم تعريفها بواسطة الوظيفة: y = f (x) = Ax2 + Bx + C.
- بحيث يكون لدينا علاقة بين المتغيرين x و y التي يمكن دراستها في حد ذاتها.
الفكرة الأساسيَّة وراء الهندسة التحليليَّة
الجزء الأول من نشأة الهندسة التحليليَّة وعلاقتها بفروع الرياضيَّات المختلفة، هو الفكرة الأساسيَّة خلف الهندسة التحليل، وهي أنَّ العلاقة بين متغيرين، مثل أنْ يكون أحدهما دالة للآخر، تحدد منحنى.
- يبدو أنَّ هذه الفكرة قد تمَّ تطويرها لأول مرَّة من قبل المحامي الفرنسي وعالم الرياضيَّات بيير دي فيرما.
- حيث أنَّه في كتابه مقدمة إلى المستوى والوضع الصلب، الذي كتب عام 1629م.
- وتمَّ تداوله بين أصدقائه وقدَّم فكرة أنَّ أي معادلة تربط بين مجهولين تحدد موضعًا أو منحنيًا.
- سمح فيرما لأحد المتغيرات بتمثيل مسافة على طول خط مستقيم من نقطة مرجعية؛ ثمَّ يشير المتغير الثاني إلى المسافة من الخط؛ واصل فيرما اشتقاق معادلات لعدد من المنحنيات البسيطة بما في ذلك الخط المستقيم والقطع الناقص والقطع الزائد والدائرة.
- ونظرًا لأنَّ فيرما لم يفكر في المسافات السالبة، لم يستطع عرض المنحنيات الكاملة، لكن علماء الرياضيات الآخرين سيتغلبون على هذه المشكلة قريبًا.
النهج الجبري للهندسة الذي اكتشفه رينيه ديكارت
اكتشف الفيلسوف الفرنسي رينيه أيضًا نهجًا جبريًا للهندسة، وعلى ما يبدو أنَّه كان مستقل بشكل كبير؛ كان ديكارت أحد الشخصيات الفكريَّة المهيمنة في القرن السابع عشر، اشتهر بالفيلسوف، ومؤلف العديد من النظريات الفيزيائية المهمة، ومساهمًا رئيسيًا في الرياضيات.
- يظهر عمل ديكارت في الهندسة كواحد من الملاحق الثلاثة لكتابه الشهير خطاب حول طريقة التصرف الصحيح للسبب والوصول إلى الحقيقة في العلوم؛ الملحقان الآخران موجودان على البصريَّات والأرصاد الجويَّة.
- وكما يوحي العنوان، رأى ديكارت الرياضيَّات في المقام الأول كطريق للتأكد من المعرفة في العلوم.
- في ملحقه الخاص بالهندسة، بدأ ديكارت بالإشارة إلى أنَّ البوصلة والإنشاءات ذات الحافَّة المستقيمة للهندسة تتضمن الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذور التربيعيَّة.
- اقترح تعيين حرف لتمثيل طول كل سطر من الخطوط التي تظهر في البناء، ثم كتابة المعادلات المتعلقة بأطوال الخطوط، والحصول على العديد من المعادلات حيث توجد خطوط غير معروفة؛ يصبح إيجاد الأطوال المجهولة مسألة حل مجموعة المعادلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة.
- بعد توضيح إمكانيَّة تطبيق الجبر في حل المشكلات الهندسيَّة التقليديَّة، ناقش ديكارت بعد ذلك حل المشكلات التي تحتوي على منحنيات كحل لها؛ وفي هذا النوع من المسائل، لا توجد معادلات كافية لتحديد جميع الكميَّات غير المعروفة، وينتهي أحدها بعلاقة بين مجهولين.
- في هذه المرحلة، اقترح ديكارت استخدام الطول بعيدًا عن نقطة ثابتة على خط معين لتمثيل x، والمسافة من x على خط مرسوم في اتجاه ثابت لتمثيل y.
- إذا تمَّ اختيار الاتجاه الثابت بزاوية قائمة على السطر الأول، فإنَّنا نحصل على النظام الحديث للإحداثيَّات المستطيلة أو الديكارتيَّة، المسمَّى باسم ديكارت.
- اقترح ديكارت بعد ذلك أنَّ أي معادلة تتضمن قوى x و y تصف منحنى هندسيًا مقبولاً.
- وأظهرت أنَّ تلك المنحنيات الخاصَّة المعروفة باسم المقاطع المخروطيَّة – الدائرة، والقطع الناقص، بالإضافة إلى القطع الزائد، والقطع المكافئ – كلها موصوفة بالمعادلات الجبريَّة التي فيها أعلى قوة لـ x أو y يساوي اثنين.
كما أدعوك للتعرف على: انواع الهندسة ومجالاتها
النزاع بين فيرما وديكارت في الهندسة التحليليَّة المتعلقة بالفيزياء وعلم الفلك
كانت دراسة هذه المنحنيات (المقاطع المخروطيَّة) تكتسب أهمية نتيجة للاكتشافات في الفيزياء وعلم الفلك.
لا سيما اكتشاف العالم الألماني يوهانس كيبلر أن الكواكب لا تتحرك في دوائر كاملة أو مجموعات من الدوائر الكاملة.
لكن في شكل قطع ناقص.
- علاوة على ذلك، أظهر كيبلر أن الكواكب لا تتحرك بسرعة ثابتة ولكن بسرعة تختلف باختلاف المسافة بينها وبين الشمس.
- قدمت الهندسة التحليليَّة وصفًا مفيدًا لشكل هذه المدارات؛ سيتبع تفسير للحركة الفعليَّة قريبًا.
- ذلك عندما اقترح إسحاق نيوتن قوانينه للحركة والجاذبية الشاملة وطور تقنيات حساب التفاضل والتكامل لتطبيقها.
- يتم التعبير بسهولة عن المشكلتين الأساسيتين في حساب التفاضل والتكامل من حيث الهندسة التحليلية:
- الأول: هو إيجاد خط المماس للمنحنى الموصوف بواسطة y = f (x) عند أي نقطة.
- الثاني: هو إيجاد المنطقة الواقعة بين مقطع من المنحنى والخط y = 0؛ ويؤدي حل هذه المشكلات مباشرةً إلى الحل.
- من اثنين آخرين: إيجاد قيم x التي لها y = f (x) .
- هي الحد الأدنى أو الأقصى، وإيجاد طول مقطع من المنحنى.
- حل فيرما مشكلة إيجاد الظل والمشكلة المصاحبة لإيجاد الحدود القصوى والصغرى بحلول عام 1629م.
- وعندما ظهرت هندسة ديكارت في عام 1637م، انتقدها فيرما لعدم تضمينها مناقشة للظل أو الحدود القصوى والدنيا.
- وأجاب ديكارت أنَّ هذه النتائج يمكن الحصول عليها بسهولة من قبل أي شخص يفهم عمله.
- وأنَّ عمل فيرما أظهر فهمًا أقل للهندسة من عمله.
- سيهدأ الخلاف حول أهميَّة وأولويَّة مساهمات فيرما وديكارت في النهاية، مع اعتراف كل رجل بمساهمات الآخر.
النزاع بين نيوتن وجوتفريد فيلهلم ليبنيز في الهندسة التحليليَّة المتعلقة بالتفاضل والتكامل
سيتم تحقيق التطوير الكامل لحساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن والعالم الألماني جوتفريد فيلهلم ليبنيز، والعمل بشكل مستقل عن بعضهما البعض:
- وكما حدث في حالة فيرما وديكارت، نشب نزاع حول الأولويَّة، ولكن في هذه الحالة نزاع أكثر مرارة وطويل الأمد.
- في عام 1696م نشر عالم الرياضيَّات السويسري يوهان برنولي مشكلة في حساب التفاضل والتكامل كتحدي لعلماء الرياضيات الآخرين.
- تكمن المشكلة، المعروفة باسم الزمن الأقصر، في العثور على المنحنى الذي تنتقل عبره حبَّة منزلقة من نقطة إلى أخرى في أقل وقتٍ مع الجاذبية باعتبارها القوة الخارجية الوحيدة.
- الجواب هو نسخة مقلوبة من سيكلويد، وهو المنحنى الناتج عن نقطة على محيط العجلة وهي تتدحرج على طول سطح مستو.
- في عام 1697م، تمكَّن برنولي من نشر حلِّه الخاص جنبًا إلى جنب مع الحلول التي حصل عليها من أربعة علماء رياضيَّات آخرين، من بينهم نيوتن وليبنيز.
- تم تقديم حل نيوتن دون الكشف عن هويته، لكن هذا لم يخدع برنولي، الذي قال: “أتعرَّف على الأسد من مخلبه”.
الهندسة التحليليَّة وعلاقتها بفروع الرياضيَّات المختلفة
الجزء الثاني من نشأة الهندسة التحليليَّة وعلاقتها بفروع الرياضيَّات المختلفة، هو علاقة هذا العلم بفروع الرياضيَّات الأخرى، وهي كالتالي:
- تمثل الهندسة التحليليَّة الانضمام إلى تقاليد مهمَّة في الرياضيَّات، تقاليد الهندسة كدراسة الشكل أو التكوين.
- وتلك الخاصة بالحساب والجبر، والتي تتعامل مع الكمية أو العدد.
- كان هذا المزيج ضروريًا إذا أريد للعلوم الفيزيائيَّة أنْ تتقدَّم إلى ما وراء مفاهيم الفلسفة الأرسطيَّة حول الحركات
الكاملة والناقصة إلى فلسفة طبيعيَّة قائمة على الملاحظة والتجربة. - ليس من المستغرب إذن أنْ يكون كلًّ من فيرما وديكارت مهتمين بالقضايا العلمية في عصرهم.
- سواء فيما يتعلق بالبصريَّات على وجه الخصوص.
- وديكارت بشكلٍّ عام مع جميع مجالات الفيزياء وعلم الفلك.
- أصبحت تقنيَّات حساب التفاضل والتكامل، المبنيَّة على رؤى الهندسة التحليليَّة، الرياضيَّات الأساسيَّة للعلوم الفيزيائيَّة والهندسة.
- مع إضافة المعادلات التفاضليَّة، والتي تمثل تطورًا إضافيًا للأفكار الأساسيَّة لحساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليليَّة،
أثبت الإطار الرياضي قوته بما يكفي لدمج المجالات الجديدة للفيزياء الحراريَّة والكهرومغناطيسيَّة
في القرن التاسع عشر ونظريَّة الكم في القرن العشرين. - وهكذا فإنَّ المناهج الجامعيَّة الحديثة لعلماء ومهندسي المستقبل تتضمن دائمًا عدة فصول دراسيَّة مخصصة للهندسة التحليليَّة وحساب التفاضل والتكامل.
ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: موضوع عن الهندسة الفراغية في الرياضيات
نشأة الهندسة التحليليَّة وعلاقتها بفروع الرياضيَّات المختلفة، في نهاية هذا المقال، نكون بذلك قد قدَّمنا لكم التدرّج في نشأة علم الهندسة التحليليَّة ودور العلماء في ذلك والاختلاف الذي دار بينهم، فضلًا عن علاقته بفروع الرياضيَّات الأخرى؛ فنرجو أنْ يكون المقال قد أفادكم ونال استحسانكم!