الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء، موقع مقال mqaall-com يقدم لكم الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء، حيث كان الحديث حديثنا حول الضرب الداخلي وهي إحدى أهم الموضوعات بالرياضيات، وسيكون حديثنا شامل كل المفاهيم وما يتصل بها من المفاهيم الأخرى.
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
من خلال المقال سنتعرف على الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
- الضرب الداخلي هو أحد العمليات الهامة التي يتم استخدامها في الرياضيات، وهذه العملية يتم إجرائها على المُتجهات.
- وبـهذا المقال سنستعرض معًا ما هي الاتجاهات، ويجب أن نعلم أن الضرب الداخلي يستخدم في العديد من التطبيقات نظرًا لأهميته.
- لأنه يعد الأساس المبني عليه إيجاد (طول متجه، الزاوية بين متجهين، بعض القيم الفيزيائية).
الضرب الداخلي هو عبارة عن ضرب المتجهات في بعض، لأن هذه العملية يتم قيامها على استخراج أمور عديدة يتم استخدامها واستعمالها في:
- الشغل.
- الفيض المغناطيسي.
- بيان القدرة.
اقرأ من هنا عن: بحث مختصر عن الضرب الداخلي
الفرق بين الضرب الاتجاهي والداخلي
- يتم الضرب الداخلي بين الاتجاهات، وفي أغلب الأحيان يتم لـضرب المُتجهين.
- وهناك خصائص تجعله أكثر تميزا عن الضرب العادي.
- هناك أسماء أخرى يتصف بها الضرب الداخلي، مثل: (الضرب الاتجاهي).
- نظرًا لاعتباره عن ضرب متجهين.
- أو (الضرب التقاطعي، الجداء المتجهي).
- نظرًا لكونه عملية ثنائية يتم حدوثها بين متجهين، في فضاء أبعاده ثلاثية.
- يعد المتجه المُتعامد على المستوى الذي ينتمي له المتجهين، هو النتيجة لـضرب المُتجهين.
- وذلك يحدث على عكس الضرب القياسي الذي تبدو نتيجته كمية قياسية.
- المُتجهين ليسا بعض الأرقام العادية بل هناك خصائص تجعلهم متميزين أكثر.
- لذا فـهناك فرق بين ضرب متجهين وضرب رقمين.
ملاحظات عن المتجهات
من أجل تسيير عملية الضرب الداخلي، يجب أن نكون على دراية ببعض الملاحظات الهامة الخاصة بالمتجهات، والتي سيتم ذكرها أدناه:
- المتجه: يعد المُتجه مجموعة مكونة من عدة أرقام في صورة رأسية وأفقية، وكل متجه يمكنه أن يبدو عباره عن أي عدد من الاتجاهات، وفي أغلب الأحيان يعد المُتجه ثلاثة اتجاهات.
- المتجهان المتساويان: يكونان المتجهان متساويان إذا كان لكل منهما نفس المقدار.
- متجه الوحدة: هو المُتجه الذي يبدو طوله عبارة عن وحدة واحدة.
- المُتجه الذي قيمته صفر: يكون المُتجه صفرًا إذا كانت كل أبعاده وقيمه من (0,0,0).
- المُتجهات السالبة (Negative Vector): هي المُتجهات التي يكون لجميعها نفس القيمة ولكن يكون اتجاهها مُعاكس للاتجاهات الأخرى.
- والمتجهات المتوازية (Parallel Vector): هي متجهات تسلك نفس الاتجاه سويًا، ولكن ربما يكون هناك اختلاف أو يكون هناك تساوي في المقدار.
- المتجهات المشتركة في المستوى (Coplanar Vectors): هي المُتجهات الواقعة في مستوى واحد، أو تكون متوازية في المستوى نفسه.
معلومات عن الضرب الداخلي
- يحدث الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي بين متجهين، حيث نصف الضرب الداخلي لـمتجهين بأنه يعد ضرب مسقط متجه على المُتجه الآخر في المعيار الموجود عند المُتجه الآخر.
- (فضاء الضرب الداخلي الحقيقي): هو الاسم الذي يطلق على فضاء المُتجهات الحقيقي حين جمعه مع الضرب الداخلي.
خصائص الضرب الداخلي
هناك العديد من الخواص الجبرية الخاصة بـعمليات الضرب العادية ويتم تطبيقها أيضًا على عمليات الضرب الداخلي، وتتواجد هذه الخواص في كل عملية من عمليات الضرب بشكل أساسي، وهي:
- خاصية الإبدال.
- وخاصية التوزيع.
- خاصية الضرب في رقم حقيقي.
وهناك بعض الخواص التي يتم تطبيقها على الضرب الداخلي فقط، مثل:
- خاصية الضرب الداخلي، أي حينما يتم ضرب متجه في متجه آخر مقداره صفر.
- ومن ضمن الخصائص التي يتميز بها الضرب الداخلي فقط هي ضرب المُتجهات -كما ذكرنا- أي أنه يوجد علاقة تربط بين طول المُتجه وبين الضرب الداخلي.
- وطريقة كتابة المُتجه تكون على هيئة توافق خطية للمتجهين القياسيين للوحدة.
- ومن المُمكن كتابة المُتجه على هيئة توافق خط المُتجه القياسي للوحدة.
- وأيضًا من المُمكن كتابته على هيئة مجموعة، نظرًا لأن المتجه القياسي للوحدة مضروبًا في اتجاه كل منهم في المركبة.
- هناك العديد من الفرضيات التي طرحها العلماء تنص عن الكميات في شكل التوافق الخطي.
ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: بحث عن المتجهات في المستوى الاحداثي
تعريف دراسة الضرب الداخلي
- درس الضرب الداخلي ومفهومه من أهم الدروس التي توجد في مناهج الصلابة سواءً في المرحلة الثانوية أو الإعدادية أيضًا.
- وكما ذكرنا الدرس هو شرح لعملية هامة للغاية تحدث عند دراسة المُتجهات.
- فـبعدما استعرضنا معًا الاتجاهات وما هي خصائصها، سـنتعرف على العمليات التي تحدث، لذا من أبرز العمليات التي تتم هنا هي “الضرب الداخلي”.
- عملية الضرب الداخلي تتمتع بالكثير من التطبيقات المُختصة بها، والتي تتمكن من الحدوث خلالها.
- فـمن خلالها نتمكَّن من التعرف على: (طول مُتجه، الزاوية بين مُتجهين، إيجاد مسقط المُتجه في اتجاه المُتجه الآخر).
مفهوم الضرب الداخلي لـمتجهين في المستوى الإحداثي
- مجموع حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الرأسي، وأيضًا حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الأفقي.
- هو المفهوم العام لـ “الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي”.
- مسقط أحد المُتجهين على المُتجه الآخر أو أحد المُتجهات في نفس معيار المُتجه الآخر.
- هو أيضًا تعريف الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي.
المتجهان المتعامدان
- هناك العديد من التطبيقات التي تحدث على عملية الضرب الداخلي، ومن أهم هذه التطبيقات، هو التحقق في حالة المتجهان المتعامدان أم أنهما غير متعامدان؛.
- نظرًا لأن الضرب الداخلي للمتجهين ستصبح نتيجتهما آنذاك غير صفريين.
- ويكون المُتجهان متعامدان في حالة أن حاصل ضربهما الداخلي في بعضهما مساويًا للصفر.
- ويكون المتجهان غير متعامدان، إذا كانت النتيجة حين حدوث عمليه الضرب الداخلي في المتجهين غير مساوية للصفر.
تطبيق الزاوية بين متجهين
من المُمكن إيجاد الزاوية التي تكون بين المتجهين في حالة تطبيق عملية الضرب الداخلي بين المتجهين.
حيث يمكن التعرف على الزاوية عند ضرب المتجهين ضرب داخلي على معيار كل منهم وإيجاد أن الحاصل مساويًا Cosine.
ومن خلال اتباع قوانين حساب المثلثات يمكننا الحصول على قيمة الزاوية، وذلك عن طريق معرفة قياس الزاوية المُراد التعرف عليها من خلال قياسها ومن خلال ما ذكرناه.
تطبيقات فيزيائية للضرب الداخلي
- بالإضافة إلى أهمية الضرب الداخلي في التطبيقات الرياضية، يوجد أيضا الكثير من التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي.
- وهناك أيضًا الكثير من التطبيقات الهندسية التي تُفيدنا، ونستغل الضرب الداخلي من أجل الوصول لها.
- ويعد (الشغل) من أهم هذه التطبيقات، حيث يساوي الشغل الضرب الداخلي بين (متجه القوه والإزاحة).
- وهناك استخدام آخر وهو (الفيض المغناطيسي) الذي نحصل عليه من خلال الضرب الداخلي بين (المجال المغناطيسي وبين مساحة السطح).
تطبيق الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي
تعتبر الزاوية بين متجهين في فضاء الضرب الداخلي يتم استخدامها في العديد من الأوقات من أجل الوصول الى بعض العلاقات الأساسية التي تربط متجهات فضاء الضرب الداخلي، مثل:
- العلاقات بين الفضاء الصفري وبين فضاء الأعمدة لأي مصفوفة.
- على سبيل المثال: عند وجود U وتُعد فضاء جزئي من فضاء الضرب الداخلي V، وإذا وُجِد المتجهة v في V العمودي، يقال أنه يعتبر عمودي على U إذا كان عمودي على أي مُتجه في U.
- إذًا يكون مجموع المُتجهات في V العمودي على U يُقال أنه من المفترض أنها مُتممة عمودية الفضائي الجزئي في U.
اقرأ أيضاً: بحث عن الإحداثيات القطبية والمركبة
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء، هو من أهم الدروس في علم الرياضيات كما ذكرنا، ويتفرع إلى “الضرب الداخلي في الفضاء، الضرب الاتجاهي، تطبيقات الضرب الاتجاهي والضرب القياسي الثلاثي”.